つっこみお待ちしております

メモ代わりに書いておきたいので削除文を改造して復活。
計算しなおしたりしたけど、合っている自信はありません。

n 種類の中から r 個を選んで並べるとき、重複を認める並べ方は $n^r$ 通り。
重複の無い並べ方は、 $_nP_r := \frac{n!}{(n-r)!}$ 通り。

全部で n 個のワードから r 個を選び出した時に重複の無い確率（？）は
$\frac{\frac{n!}{(n-r)!}}{n^r} = \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-2}{n} \cdot \cdot \cdot \frac{n-r+1}{n}$

んでこれの r に値を代入して計算すれば、何個くらいワード用意すればどの程度重複しないかは求められる･･･はず。面倒だけど。

精度を無視して
$\left(\frac{n-\frac{r}{2}}{n}\right)^{r-1}$
で概算。 r=15 として90%の確率で重複しないためには
$\left(\frac{n-7}{n}\right)^{14} \geq 0.9 \\0.993^{14}=0.906336518 \cdots$ 　なので
$\frac{n-7}{n} = \frac{993}{1000}$ を求めたい。これは容易に n = 1000 が適当と分かる。
実際 n=1000, r=15 のとき0.899864388

最初に書いたとおり、合ってるのか自信はない。
思ってたよりも大きい数字が出てきて余計に自信がなくなった。

しかし（合ってると仮定して）15個のワードを出題するのに、その中で90%の確率で重複しない事を期待するのに1000個のワードを用意しなけりゃならないなら、重複しないような選別方法を考えてやる方が楽そうですね。